- 함수 f(x)=5xf(x) = 5x 에서
- 정의역 ∣x∣≤1|x| \le 1에서 최대값과 최소값 및 평균값은?
- 함수 y=x2−x+4y = x^2 - x + 4 가 x=3x = 3에서
- 미분계수를 구해라.
- 함수 y=x2−x+4y = x^2 - x + 4 의
- x=3x = 3에서의 접선의 방정식을 구해라.
- 함수 f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x + 4 가
- 구간 (0,1)(0, 1)에서 접선의 방정식을 구해라.
- y=t3−t2+ty = t^3 - t^2 + t 의 도함수를 구해라.
- g(x)=x4−4x3+6x2g(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 의 도함수를 구해라.
- y=ln(1+x2)y = \ln(1+x^2) 의 미분값을 구해라.
- 함수 y=ln(x2)y = \ln(x^2) 의 미분값을 구해라.
- 함수 y=tan2xy = \tan^2 x 을 미분해라.
- y=x2+x+1y = x^2 + x + 1 에서
- 점 (0,1)(0,1)에서의 접선의 방정식을 구해라.
✍️ 풀이과정 (예시)
1️⃣ f(x)=5xf(x) = 5x 에서 ∣x∣≤1|x| \le 1
- 최대값, 최소값:
x=−1,0,1 대입x = -1, 0, 1 \text{ 대입} f(−1)=−5,f(0)=0,f(1)=5f(-1) = -5, \quad f(0)=0, \quad f(1)=5
- 따라서
최대값=5,최소값=−5\boxed{\text{최대값} = 5}, \quad \boxed{\text{최소값} = -5}
- 평균값(평균치의 정리 아님, 단순 평균값):
−5+0+53=0\frac{-5 + 0 + 5}{3} = 0
2️⃣ y=x2−x+4y = x^2 - x + 4 에서 x=3x=3의 미분계수
y′=2x−1y' = 2x - 1 y′(3)=2(3)−1=5y'(3) = 2(3) -1 = 5
3️⃣ 위 함수에서 x=3x=3에서의 접선
접선 방정식은
y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)
여기서
x0=3,y0=32−3+4=9−3+4=10,m=5x_0 = 3, \quad y_0 = 3^2 -3 +4 = 9 -3 +4 = 10, \quad m = 5
따라서
y−10=5(x−3)y - 10 = 5(x - 3)
정리하면
y=5x−5y = 5x - 5
4️⃣ x∈(0,1)x \in (0,1) 에서의 접선
f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x +4
x0∈(0,1)x_0 \in (0,1) 에서 접선:
m=f′(x0)=2x0−1m = f'(x_0) = 2x_0 -1 y0=f(x0)=x02−x0+4y_0 = f(x_0) = x_0^2 - x_0 +4
접선식은
y−y0=m(x−x0)=(2x0−1)(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) = (2x_0 -1)(x - x_0)
즉
y=(2x0−1)(x−x0)+x02−x0+4\boxed{y = (2x_0 -1)(x - x_0) + x_0^2 - x_0 +4}
5️⃣ y=t3−t2+ty = t^3 - t^2 + t
y′=3t2−2t+1y' = 3t^2 - 2t +1
6️⃣ g(x)=x4−4x3+6x2g(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2
g′(x)=4x3−12x2+12xg'(x) = 4x^3 -12x^2 +12x
7️⃣ y=ln(1+x2)y = \ln(1+x^2)
y′=11+x2⋅(2x)=2x1+x2y' = \frac{1}{1+x^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{1+x^2}
8️⃣ y=ln(x2)=2lnxy = \ln(x^2) = 2\ln x
y′=2xy' = \frac{2}{x}
9️⃣ y=tan2xy = \tan^2 x
y′=2tanx⋅sec2xy' = 2\tan x \cdot \sec^2 x
10️⃣ y=x2+x+1y = x^2 + x +1 에서 (0,1)(0,1)
m=y′(0)=2(0)+1=1m = y'(0) = 2(0)+1=1 y0=1y_0 = 1 y−1=1(x−0) ⟹ y=x+1y -1 = 1(x -0) \implies y = x +1
② 미분 공식 적용
항목별로 미분하면,
- ddx(x2)=2x\frac{d}{dx} (x^2) = 2x
- ddx(−x)=−1\frac{d}{dx} (-x) = -1
- ddx(4)=0\frac{d}{dx} (4) = 0
따라서
y′=2x−1y' = 2x - 1
③ x=3x=3 에 대입
y′(3)=2×3−1=6−1=5y'(3) = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5
✅ 결론
y′(3)=5\boxed{y'(3) = 5}
즉, x=3x=3에서의 미분계수(접선의 기울기)는 5입니다.
🌱 덤: 접선까지 구하면?
- x=3x=3에서의 함수값:
y(3)=(3)2−(3)+4=9−3+4=10y(3) = (3)^2 - (3) +4 = 9 -3 +4 = 10
- 접선식:
y−y0=m(x−x0)=(y−10)=5(x−3)=5x−15+10=5x−5y - y_0 = m(x - x_0) = (y - 10) = 5(x -3) = 5x -15 +10 = 5x -5 y=5x−5\boxed{y = 5x -5}
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